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中学数学・連立一次方程式
連立一次方程式の問題｜
加減法・代入法の解き方を学んで練習問題に挑戦
連立一次方程式は、2つの方程式を同時に成り立たせるxとyを求めます。ポイントは、文字を1つ消して、すでに学んだ一次方程式にすること。加減法と代入法を順番に学びましょう。
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連立一次方程式って何だろう？
x − y = 1
「x + y = 7」だけなら、xとyの組み合わせはいくつもあります。しかし、もう1本の「x − y = 1」も同時に成り立たせる必要があります。
2つの方程式を組み合わせたものを連立方程式といい、両方の式を同時に成り立たせるxとyの値を解といいます。
Q1 次の2つの式を両方とも満たす組み合わせは？
x − y = 1
文字を1つ消せば、一次方程式になる
x − y = 1
2本の式を足すと、+yと−yが打ち消し合います。
2x = 8
文字が2つあった式が、xだけの一次方程式になりました。このように2つの式を足したり引いたりして文字を1つ消す方法を加減法といいます。
① 文字を1つ消す → ② 一次方程式を解く → ③ 求めた値を元の式へ戻す。これが基本です。
Q2 加減法で解こう
x − y = 3
そのままでは文字が消えないとき
消したい文字の係数がそろっていないときは、式全体を何倍かして係数をそろえます。左右の両方を同じ数倍するので、等式は保たれます。
Q3 係数をそろえて加減法で解こう
3x + 2y = 12
もう一つの方法「代入法」
x + y = 7
1本目からyが何に等しいか分かっています。そこで2本目のyを「2x+1」に置き換えると、x+(2x+1)=7となり、文字がxだけになります。
加減法も代入法も、目的は同じです。文字を1つにして一次方程式へ変えるための方法です。
Q4 代入法で解こう
2x + y = 7
加減法と代入法、どちらを使う？
係数が同じ、またはそろえやすいときは加減法が便利です。x=○○、y=○○の形になっている式があれば代入法が使いやすくなります。どちらの方法でも、正しく文字を1つにできれば解けます。
負の数を含む連立方程式
解が負の数でも考え方は変わりません。正負の数と一次方程式で学んだ計算を使って解きます。
Q5 総合問題に挑戦
3x − y = −6
求めた解を検算しよう
Q5が解けたら、求めたxとyを2本の式へ戻して確かめます。
2×(−1)+3 = 1
3×(−1)−3 = −6
2本とも成り立つので正しい解です。
連立一次方程式の解き方を整理しよう
① どちらの文字を消すか考える ② 加減法または代入法で文字を1つにする ③ 一次方程式を解く ④ 求めた値を元の式へ代入して、もう一方を求める ⑤ 2本の式へ代入して確かめるいちばん大切なのは、「文字を1つ消して、一次方程式にする」という考え方です。
連立一次方程式をもっと解いてみよう
解き方が分かったら、CALCで繰り返し練習できます。CALCでは難易度に応じて係数を変えながら、先に整数のx・yを決めてから2本の方程式を作るため、連立方程式を解くこと自体に集中できます。